Kubus $ABCD.EFGH$, bidang $EBG$ dan bidang $EDG$ kita gambarkan, [*seperti gambar]. Kita peroleh dari gambar garis persekutuan adalah $EG$
Untuk menentukan sudut antara bidang $EBG$ dengan $EDG$ yaitu dengan menggambar garis pada bidang $EBG$ dan $EDG$ yang tegak lurus dengan $EG$, pada gambar diberi nama garis $DP$ dan $BP$.
Sudut antara bidang $EBG$ dengan $EDG$ adalah sudut yang dibentuk oleh garis $DP$ dan $BP$ yaitu sudut $BPD$ sehingga $ \angle BPD= \beta$.
Dengan memperhatikan segitiga $BPD$ kita peroleh $BP = DP$, dan $BP$ dapat kita hitung dengan konsep teorema pythagoras dari segitiga $BFP$, yaitu:$ BP^{2}=PF^{2}+BF^{2}$
Karena panjang rusuk kubus tidak diketahui, kita misalkan panjang rusuk kubus $2a$, sehingga:
$ BF =\ 2a$ dan $PF = a\sqrt{2}$
Dengan konsep
teorema pythagoras kita peroleh:
$\begin{align}
BP^{2} &=(a\sqrt{2})^2+(2a)^2 \\
BP^{2} &=2a^2+4a^2 \\
BP &=\sqrt{6a^2} \\
BP &=a\sqrt{6}
\end{align}$
$ BD= 2a\sqrt{2},\ BP = DP =a\sqrt{6}$
Dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga $BDP$ diperoleh:
$\begin{align}
BD^{2} &=BP^{2}+DP^{2}-2\cdot BP\cdot DP\cdot cos\ \beta \\
(2a\sqrt{2})^{2} &=(a\sqrt{6})^{2}+(a\sqrt{6})^{2}-2\cdot a\sqrt{6}\cdot a\sqrt{6}\cdot cos\ \beta \\
8a^{2} &=6a^{2}+6a^{2}-2\cdot 6a^2\cdot cos\ \beta \\
4a^{2} &=12a^{2}-12a^2\cdot cos\ \beta \\
12a^{2}\cdot cos\ \beta &= 12a^{2}-8a^{2} \\
12a^{2}\cdot cos\ \beta &= 4a^{2} \\
cos\ \beta &= \dfrac{1}{3} \\
\hline
cos\ 2\beta &=2cos^{2}\ \beta -1 \\
cos\ 2\beta &=2\left(\dfrac{1}{3} \right)^{2} -1 \\
cos\ 2\beta &=2\left(\dfrac{1}{9} \right) -1 \\
cos\ 2\beta &=\dfrac{2}{9} -1 \\
cos\ 2\beta &=-\dfrac{7}{9}
\end{align}$
